Ejercicios de pensamiento



Problema número 4: El problema imposible

En un concgreso de matemáticos se hizo el siguiente problema: Se eligen dos números enteros, distintos, ambos mayores de 1 y no superiores a 20. A un matemático se le dió la suma de ambos números y a otro el producto y se les dijo que a ver si alguno era capaz de adivinar los números elegidos.

El primer matemático llamó al segundo y le dijo: «No sé cómo vas a poder averiguar mi suma»

Al rato el segundo dijo: «Ya sé cuando vale tu suma»

Después contestó el primero: «Pues ya sé cuando vale tu producto»

¿Cuáles son los dos números elegidos?


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SOLUCIÓN:

El 4 y el 13. Veamos el motivo.
Si el primero matemático dijo que no sabía cómo iba a averiguar la suma el segundo era porque no son dos números primos. Si fueran dos números primos el que conoce el producto encontraría los dos números y sabría su suma. O sea la primera frase equivale a indicar que no es suma de dos números primos. No podría ser, por ejemplo 14, ya que entonces el primer matemático no podría afirmar lo que ha dicho (si fueran 3 y 11, su producto es 33 y el segundo matemático averiguaría la suma).
Sabemos que todo los números pares son suma de dos números primos por lo menos para cantidades pequeñas (es la conjetura de Goldbach no probada para todos los números pero si comprobadas con números relativamente pequeños, desde luego todos los menores de mil). O sea, la suma no es un número par. Además podemos eliminar todas las sumas que son número primo más 2, porque 2 es también primo. Sólo quedan como posibles las siguientes sumas: 11, 17, 23, 27, 29, 35 y 37.
De estas posibilidades no puede ser 11. El motivo es el siguiente: si el producto fuera 24, el segundo matemático sabría que son 3 y 8, pues solo estos dos números dan una suma de las posibles. Si el producto fuera 28 también sabría que la suma es 11, porque sólo 4 y 7 dan un número de entre los posibles. Podemos descartar el 11 porque entonces el primer matemático no diría «Pues ya sé cuando vale tu producto». Puesto que hay dos posibilidades no podría saberlo.
Tampoco puede ser la suma 23. En este caso no se puede decidir entre 4+19 y 16+7.
De la misma forma descartaríamos 27 (4+32, 8+19 y 16+11) 29 (puede ser 13+16 y 4+25), 35 (4+31 y 16+19) y 37 (8+29 y 32+5).
Queda una suma por estudiar: 17. Hay siete formas de obtenerla. Veamos la primera
2+15. En este caso su producto 30 no permitiría al segundo matemático deducir la suma, porque puede ser 5+6 además de 2+15.
Por motivos similares se pueden ir quitando las otras sumas: 3+14, 5+12, 6+11, ...salvo 4+13
En el caso de los número 4 y 13 su suma es 17 y su producto 52. Solo hay dos números que dan el mismo producto son 2 y 26, pero no son válidos para la suma.

Por tanto, sólo si los números son 4 y 13 el segundo matemático puede estar seguro de que la suma es 17. Por ello el primero deduce que son 4 y 13 porque cualquier otro par produciría ambiguedades.

Para ver la solución arrastra el ratón entras las dos líneas encima de esta leyenda