Algebra

Parte de la matemática que estudia las estructuras algebraicas, es decir conjuntos con leyes de composición.

Sea A un conjunto. Una ley de composición interna sobre A es una aplicación de A x A en A. (A x A es el producto cartesiano del conjunto A). Se suelen representar por signos en vez de por letras, como las funciones y en vez de utilizar la clásica notación f(a,b)=c para querer decir que c es la imagen del par (a,b) se escribe de la forma a + b = c. Donde + es la ley de composición interna (otros signos habituales son *, x, o,...)

Un conjunto con una ley de composición interna se llama una estructura algebraica. Imaginemos, por ejemplo, el conjunto de las números naturales (0,1,2,3,...) con la suma aritmética.

Las estructuras algebraicas se estudian de acuerdo a una serie de propiedades que les da nombre y a partir de las cuales se deducen otras muchas. Ejemplos de ellas son los semigrupos, grupos, anillos, cuerpos y espacios vectoriales. Veamos, como ejemplo, la definición de un grupo.

Sea un conjunto A con una ley de composición interna *. Si se cumple las siguientes tres reglas lo llamamos un grupo:

1) Existe a C- A / V- x C- A se cumple a * x = x a se denomina elemento neutro

2) V- x,y C- A se cumple x * y = y * x

3) V- z,y,z C- A se cumple x * (y * z) = (x * y) * z